Как продлить срочный трудовой договор — увольнение или дополнительное соглашение?

Сложность в том, что в ТК существуют ограничения на заключение срочных договоров (ст. 58ТК).
Не факт, что у Вас с самого начала были основания для заключения именно срочного ТД.
Не факт, что они есть сейчас.
Поэтому и трудно заочно давать однозначные пошаговые рекомендации.
Согласен ли работник на то, что Вы ему снова оформите срочный договор?
Если не согласен - может легко оспорить и переквалифицировать его в бессрочный.
Если заключите бессрочный с испытательным сроком - тоже не так-то просто будет доказать, что работник испытание не выдержал!
Допсоглашение отпадает однозначно.
Что Вы выберете, какой договор будете оформлять?
Из этого и будем исходить в дальнейших советах.

Если согласен, то тогда так:
1. Верно. Только ст. 79.
2. Верно. Ровно 2 дня.
3. Верно.
4. Да.
5. И получает на руки свой экземпляр.

Перепутала. Уже поправила выше.

Переношу в раздел к трудовым вопросам

Тогда вот еще Natycuk меня поправила в части безапелляционного отрицания возможности допсоглашения:
Для продления срочных трудовых отношений с сотрудником можно заключить дополнительное соглашение к трудовому договору об изменении первоначального срока действия договора. Роструд в Письме от 31.10.2007 N 4413-6 считает такой порядок вполне приемлемым. При заключении дополнительного соглашения о продлении срока трудового договора следует учитывать некоторые нюансы, иначе изменения не будут иметь силы.
Во-первых, в соглашении необходимо указать именно изменение первоначального срока, а не его продление. Статья 72 ТК РФ предоставляет работодателям право изменять условия трудового договора, а значит, смело можно изменять первоначальный срок. Продление же срока возможно только в случае беременности временной сотрудницы (ч. 2 ст. 261 ТК РФ). В других ситуациях все же корректнее использовать формулировку "изменение срока".
Во-вторых, если срок договора меняется из-за того, что сотрудник переходит на новую должность или в другое подразделение, в соглашении об изменении срока необходимо упомянуть еще и о переводе на другую работу (ст. 72.2 ТК РФ). Например, изначально временного сотрудника взяли для замены отсутствующего постоянного работника, а после его выхода хотите, чтобы временный сотрудник заменил уже другого работника.
В-третьих, обговорить с сотрудником условия об изменении срока договора и подписать дополнительное соглашение к трудовому договору лучше не позднее чем за три дня до его окончания. Тогда у организации останется время на уведомление о прекращении трудового договора (которое делают за три дня до истечения срока договора - ст. 79 ТК РФ), если работник не согласится на предложенные ему условия. И если работодатель пропустит этот срок, работник вправе продолжать работать, но уже на постоянной, а не временной основе (ч. 4 ст. 58 ТК РФ).

Нет, не совсем.
В допсоглашении "шапка" и "хвост" оформляются примерно так же, как и в самом договоре:
Сначала идет название и номер документа, город и дата.
Затем перечисляются стороны.
Затем содержание: внести изменения в пункт такой-то. С такого-то числа читать пункт такой-то так-то (и полностью содержание пункта о сроке ТД).
В конце - реквизиты и подписи сторон.
Каждой стороне - по равноценному экземпляру.