Должен ли работник писать заявление при увольнении по соглашению сторон?

Добрый день,
Необязательно.
Подробнее смотрите здесь: [Ссылка устарела]

Здравствуйте!Заявление не нужно.

Статья 78  ТК РФ.  Расторжение трудового договора по соглашению сторон
 
Трудовой договор может быть в любое время расторгнут по соглашению сторон трудового договора.

Соглашение сторон - это волеизъявление двух сторон трудового договора.
Заявление на увольнение - это волеизъявление одной стороны трудового договора.

Нужно оформить и подписать Соглашение сторон о расторжении трудового договора.