Можно ли оформить работника с приписным удостоверением, без военного билета?

Добрый день,
  А в чем проблема?

ст.65 ТК установлено, что при заключении трудового договора лицо, поступающее на работу, предъявляет работодателю:
...
документы воинского учета - для военнообязанных и лиц, подлежащих призыву на военную службу;
...

Удостоверение гражданина, подлежащего призыву на ВС (то что вы назвали "приписное") - это и есть документ воинского учета.